시간 t와 위치 x에서 자유롭게 운동하고 있는 전자를 발견할 확률을 기술하는 파동함수를 만들었다. 파동함수와 물리와의 연관성은 de Broglie 관계식 와 Planck 관계식
에 의하여 주어진다. 그러면 파동묶음은
- 1식
와 같이 다시 쓸 수 있다. 이제 자유입자에 대해서 으로 선택하자. 군속도는
로 주어지며 이 결과는 에너지와의 관계가 옳다는 것을 확인시켜 준다. 여기서
는 식에서 A(k)의 역할을 한다.
이제 자유롭지 않은 입자를 고려하자 . 그러면 은
- 2식
로 바뀐다. 2식을 방정식 1식에 그냥 대입하면 파동함수는 별로 중요하게 바뀌지 않는다. 새로운 파동함수는 단지 자유집자의 파동함수와 의 곱에 불과하게 된다. 이 새로운 인자는 위상에만 관련된 항이며 따라서 절대값의 제곱은 1이다. 이는 지수의 에너지에 퍼텐셜을 더하는 것이 균일한 파동묶음의 운동을 변화시킬 수 없음을 의미한다. 퍼텐셜 안에서는 입자의 속도가 위치에 따라서 달라지기 때문에 위의 결과는 명백히 틀린 것이다. 우리가 해야 할 일은를 해로 갖는 방정식을 알아낸 다음에 퍼텐셜 V(x)를 고려하여 방정식을 수정하는 것이다.
먼저 시간에 대해 1식을 미분하면
- 3식
를 얻는다. 한편
2012.02.27
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