1) 칸토어의 먼지 사례
처음엔 하나의 직선에서 시작한다. 중간 1/3도막을 제거한다. 다음에 남아 있는 두 도막의 중간 1/3을 제거한다. 이와 같은 과정을 반복한다. 칸토어 집합은 남아 있는 점들의 집합이다. 그 점들은 무수히 많지만 전체 길이는 1이다.
이러한 구조의 역설적인 특성은 19세기 수학자들을 혼란에 빠뜨렸으나, 만델로브트는 칸토어의 집합을 전송선에서 발생하는 오차에 대한 모델로 보았다.
기술자들은 오차가 없는 전송기간이 오차가 많이 발생하는 전송 기간과 혼재되어 있는 것을 발견했다. 조금 더 자세히 살펴보면, 오차를 포함하는 기간 내에도 오차가 없는 기간이 존재했다. 그것은 프랙탈 시간의 한 예이다.
시간에서 초에 이르는 모든 시간 규모에서 깨끗한 전송에 대 한 오차의 관계는 일정하다는 것을 만델브로트는 발견했다. 그는 이러한 먼지들이 간헐성을 모델화 하는데 반드시필요하다고 주장했다.
2) 코흐의 눈송이 사례
각 변의 길이가 1피트인 삼각형을 생각해 보자.
각 변을 삼등분하여 중앙의 1/3에 모양은 동일하고 한 변의 길이는 1/3인 새 삼각형을 붙여 보자. 결과 는 다윗의 별이 된다. 세 개의 1피트짜리 변 대신에 이제 12개의 4인치 짜 리 변이 생겨난다. 뾰족한 점은 3개에서 6개로 늘어난다. 12개의 각 변에서 중앙의 1/3에 더 작은 삼각형을 붙이는 변형을 계속 해 보자.
그 윤곽은 마치 칸토어 집합이 점점 더 성겨지는 것과 마찬가지로 점점 더 세밀하게 된다. 그것은 일종의 이상적인 눈송이와 유사하다.
그것은 코흐 곡선이라 불린다. 원래의 삼각형에 외접원을 그리면 코흐곡선은 결코 그 밖으로 나 가지 않는다.
프랙탈 기하학의 통찰력은 과학자들의 연구에 도움을 주었다.
그것은 현미경으로 봤을 때 울퉁불퉁한 금속표면, 함유암석의 작은 구멍과 홈, 지진대의 절단된 지형 등 갖가지 물질을 관찰하는 방법이다.
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2012.10.12
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