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현대 수학과 수학의 장래
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현대수학의 개념과 장래
1. 현대 수학의 개념
현대수학이란 칸토르(Cantor)가 집합론을 완성, 발표한 해인 1895년 이후의 수학을 말한다. 집합론의 출현은 수학에 있어서 실로 혁명적인 것이었고 그 이후 모든 분야의 수학을 집합으로 통합하고 분류하고 해석하려는 움직임이 일어나, 집합 그 자체의 성질을 연구하는 것을 집합론, 집합과 집합 사이의 관계를 설명하는 것을 해석학, 집합의 원소 사이의 관계를 연구하는 것을 대수학이라 하였고, 집합의 원소 사이에 거리 개념을 도입한 것을 기하학이라 하여 수학 전반에 관한 집합론적 안목으로써의 재조명이 시작되었다.
그러나 이 집합개념 출현에 곧 이어 집합의 정의 자체에 관한 결함이 발견되어 수학은 일대 위기를 맞게된다. 1897년 부랠리와 포르티(Burali-Forti)가 발표한 역설(paradox)의 출현에 기인하며 약 1세기가 지난 지금까지도 그 만족할 만한 해결의 실마리가 보이지 않고 있다. 이 파라독스는 칸토르의 일반 집합론의 주변에서 일어났다. 수학의 많은 부분이 집합론에 바탕을 두고 있으므로 이 파라독스는 총체적 수학구조의 진실성에 회의를 던져준다는 데 문제의 심각성이 있다.
부랠리-포르티의 파라독스는 아주 기술적인 용어로 설명되어 있어서 여기서 설명하기에는 마땅치 않으나 2년 후 칸토르에 의하여 발견된 파라독스와 근본적인 골자는 같다. 칸토르는 그의 집합론에서 임의의 자연수보다 더 큰 자연수가 있듯이 임의의 초한수(transfinite number)보다 더 큰 초한수가 있고 따라서 최대 초한수는 존재하지 않음을 증명하였다. 이제 모든 집합의 집합을 U라 하면 U보다 더 많은 원소를 갖는 집합은 없다. 그렇다면 집합 U의 농도보다 더 큰 초한수가 어떻게 존재할 수 있는가
2. 수학철학의 사조
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2011.08.29
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