구심력 측정
1. 목 적
질량, 회전 반경 등의 회전 운동 변수가 달라질 때 구심력을 측정하고, 구심력과 회전 운동 변수와의 관계를 이해한다.
2. 이 론
물체가 반지름 인 원의 원주 상에서 등속 원운동 할 때 구심 가속도 는
(1)
으로 주어진다. 여기서 는 접선 방향의 속도이고 는 각속도이다 (). 이 구심 가속도는 다음 두 가지 방법으로 구할 수 있다.
(1) 해석학적 방법
그림 1 원운동
그림 1에서처럼 원운동하는 물체의 변위는 다음과 같이 표시할 수 있다.
,
. (2)
여기서 는 시간 에서의 초기각이다. 이 식을 시간에 대해 한번 미분하면
,
(3)
이 되고, 따라서 속도의 크기는
(4)
가 된다. 식 (3)을 다시 시간에 대해 미분하면 가속도는
,
(5)
로 주어진다. 식 (5)와 (4)로부터 가속도의 크기는
(6)
이 되고, 식 (5)와 (2)를 비교하면 이 가속도의 방향이 변위와 반대 방향, 즉 원의 중심을 행하는 방향이라는 것을 알 수 있다.
(2) 기하학적 방법
그림 2 기하학적 방법으로 구심 가속도 구하기
그림 2(a)는 원운동을 하는 물체의 시간 와 에서의 속도 와 을 보여주고 있다. 이 두 속도의 차이 의 크기는 각 가 작을 때 그림 2(b)에서 이다. 한편 그림 2(a)에서 이므로, 가속도의 크기는
(7)
이 된다. 한편 가 0으로 가는 극한에서 는 에 수직인 방향, 즉 원의 중심을 향하는 방향이므로 가속도 의 방향도 원의 중심을 향하게 된다.
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2012.04.12
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