1. 실험목적 : 스프링에 매달린 물체의 운동이 단순조화운동임을 확인하고, 그 측정된 운동주기가 이론값과 일치하는지 확인한다. 또한 외부에서 힘이 가해지는 강제진동을 통해 스프링계의 고유진동수 근처에서의 운동양상을 살펴보고 물리계의 고유진동수에 대해서 살펴본다.
2. 이론
(1) 단순조화운동
먼저 중력 하에서 용수철에 매달린 물체의 상하운동에 대해 알아보자. 중력가속도를 g, 용수철상수를 k, 물체의 질량을 M, 평형점 으로부터 늘어난 길이를 x 라고 하면 용수철이 물체에 미치는 복원력은 -kx 이고, 물체에 가해진 알짜힘은
F = Mg - kx
이다. 운동법칙으로부터
M d2x/dt2 = - k(x - Mg/k)
를 얻게 되고 미분방정식을 이용, 일반해를 구하면
x = xmcos(t + ) + Mg/k
이 되는데, 여기서 각속도는 = (k/M)1/2가 되고, 따라서 주기 T 와 진동수 f (=1/T)는
이다. 여기서 진동수 f 를 자연진동수, 또는 고유진동수라 한다.
(2) 강제진동
앞의 단순조화운동과 같이 진동계를 진동시키면 계는 고유(자연)진동수로 진동하게 되는데 그렇다면 이번에는 외부의 힘을 가하여 이러한 계가 특정한 진동수로 진동하는 경우를 생각해보자. 예를 들어 용수철의 질량은 일정한 진동수 f 로 밀고 당길 수 있다. 계에 외력이 가해질 때 진동의 양상은 변화하게 되고 그 계에 작용하는 알짜 힘은 다음과 같이 표현 할 수 있다.
F = Mg - kx + F0cost
Mx + kx = Mg + F0cost
M으로 나누고 0 = (k/M)1/2 라 놓고 식을 정리하면
x + 02x = g + (F0/M)cost
질량이 정지상태에서 강제진동 한 경우, 즉, 초기조건(t=0 일때 x=x =0) 하에 이 미분방정식을 풀면(상수 g/02 는 생략)
(1) ≠0 일때
x(t) = Acos(t) + Bcos(0t)
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2014.04.18
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