제 10 장 Fourier 급수와 Fourier 변환
목 차
1. 주기함수와 삼각 함수
2. Fourier 급수
3. Fourier 적분 변환
1. 주기 함수와 삼각 함수
★ 주기 함수의 정의 ;
위에서는 의 주기이다.
예)
★ 함수의 적분 공식 ;
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2. Fourier 급수
★ 함수 의 주기가 일 때,
로 쓸 수 있다. 이 때, 계수 은,
로 주어진다.
가 즉, 짝함수이면 이고
가 즉, 우함수이면 이다.
- 참고; 이 같은 전개가 가능하기 위해서는 가 영역에서 다음의 조건을 만족하여야 한다.
(1) 값에 대하여 단일 값을 가지며(single-valued), (2) 발산하지 않으며(bounded), (3) 유한한 개수의 최소치와 최대치를 가져야 하며, (4) 유한한 개수의 불연속점을 가져야 하며(불연속점 사이에서는 연속이어야 하며; piecewise continuous), 주기성 이 있어야 한다. 이 것을 Dirichlet의 조건이라고 한다.
★ Fourier 급수의 간단한 표현;
이 인 경우,
로 표현할 수 있으며, 계수는
으로 된다.
★ Fourier 급수의 복소 표현;
,
이 된다. 이 경우도 로 쓰면,
★ Parseval 정리 ;
인 때,
이 된다.
★ Fourier 급수 전개의 예 ;
사각형파(예제 10.2.1), 완전파 정류(예제 10.2.2), 톱니파(예제 10.2.3)
★ Fourier 급수 전개의 예 추가(연습문제10.2.2) ;
even 함수이므로 이다.
따라서, 이 된다.
여기에서 로 두면,
여기에서 로 정의되며 Riemann-zeta 함수라고 한다. (text의 378쪽 참조)
★ Gibbs 현상
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2011.03.11
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